Intégrale d'une fonction mesurable positive
\(f:(E,\mathcal A)\to[0,+\infty]\)
$$\int f\,d\mu=\underset{h\leqslant f}{\sup_{h\in\mathcal E^+} }\int h\,d\mu$$
- on écrit parfois \(\int f(x)\,d\mu(x)\)
- si \(f\) est étagée, alors les deux définitions de l'intégrale coïncident
- si \(0\leqslant f\leqslant g\), alors \(\int f\,d\mu\leqslant\int g\,d\mu\)
- l'intégrale ainsi définie est linéaire et commute avec \(\sum_{n=0}^{+\infty}\)
- intégrale nulle : \(f\overset{pp}=0\implies\int f=0\)
- intégrale strictement positive : \(\mu\{x\in E\mid f(x)\gt 0\}\gt 0\implies\int f\gt 0\)
- intégrale finie : \(\int f\lt +\infty\implies f\overset{pp}\lt +\infty\)
- comparaison : \(f\overset{pp}\leqslant g\implies\int f\leqslant\int g\)
- égalité : \(f\overset{pp}=g\implies\int f=\int g\)
Fonction étagée
